Е.М. Бурлуцкий, В.Д. Павлидис, М.В. Чкалова

Оренбургский государственный аграрный университет, г. Оренбург

Математическое моделирование реально протекающего процесса измельчения кормового материала позволяет установить базовые закономерности в изменениях характеристик продуктового потока, циркулирующего внутри рабочей камеры измельчителя и выявить возможности управления процессом измельчения [4].

Проведенные теоретические и экспериментальные исследования дают нам основания предположить, что в рабочей камере измельчителя наблюдаются области стабильности - нестабильности продуктового слоя, характеризующиеся теми или иными (в зависимости от выбранной модели) показателями состояния продуктового потока.

Обоснованный выбор, сделанный в пользу вероятностно-статистического подхода к описанию процесса измельчения кормового сырья в рабочей камере измельчителя, позволяет провести математическое моделирование как общего процесса в пространстве рабочей камеры измельчителя, так и процессов в каждой условной зоне с учетом особенностей перехода на границах между условными зонами.

Процесс, протекающий в рабочей камере измельчителя при установившемся режиме работы, будем считать непрерывным случайным процессом, обозначим Х(t) и рассмотрим его на примере молотковой дробилки закрытого типа с шарнирно подвешенными молотками (рис.
1)

Рис. 1 (см. печатную версию ВЕСТНИК МичГАУ) - Условные зоны молотковой дробилки (развертка).

Рассмотрим две условные зоны, разделенные границей. Переход воздушно-продуктового слоя (ВПС) через границу влечет за собой изменение вероятностных характеристик случайного процесса Xi(t) (i=1,2,3,4). Достаточно малую окрестность границы будем считать динамической системой, на вход которой подается случайный процесс Хi(t), а на выходе возникает случайный процесс Хi+1=j(t) (рис. 2). Есть все основания считать рассматриваемую окрестность границы между условными зонами в рабочей камере молотковой дробилки линейной динамической стационарной асимптотически устойчивой системой.

Преобразование стационарного случайного процесса Хi(t) стационарной динамической системой (окрестностью границы между условными зонами) зададим линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами [2]

Рассчеты и формулы см. в печатной версии ВЕСТНИК МичГАУ

На практике случайный процесс Хi(t) заменяется его реализацией хi(t), а случайный процесс Хj(t) соответственно реализацией хj(t), причем
Xj(t)= XjC(t)+XjB(t).

Со временем собственные колебания XjC(t) стационарной линейной системы затухают, поэтому можно рассматривать только вторую составляющую XjB(t), которая описывает вынужденные колебания под воздействием входной реализации x,(t).

Исчерпывающей характеристикой линейной динамической системы является её весовая (импульсная, переходная) функция g(t,T), которая представляет собой реакцию системы в момент времени t на единичный импульс, действующий в момент ?. Весовая функция рассматриваемой нами стационарной системы зависит только от разности её аргументов
g(t,T)=a)(t- т).

Изображением весовой функции стационарной линейной системы (в терминах операционного исчисления) является передаточная функция.
Передаточную функцию (ПФ) можно получить иначе: применяя к уравнению (1) преобразование Лапласа. Эта функция является частотной характеристикой, и, следовательно, основной математической моделью линейной динамической системы [1,5]. Можно сказать, что ПФ есть отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к входной величине, преобразованной по Лапласу, при нулевых начальных условиях.
Запишем спектральное разложение стационарного случайного процесса Хi(t) в комплексной форме.

Комплексное число при каждом данном значении частоты ? можно изобразить вектором на комплексной числовой плоскости. Конец вектора опишет годограф частотной характеристики, т.е. даст амплитудно-фазовую характеристику системы. Таким образом, достаточно определить оценки характеристик

т'х, к1х (т), Is*' (со), mJx, kj (т), 1*J (со)

как результат статистической обработки соответствующих реализаций хi(t) и хj(t) случайных процессов Хi(t) и Хj(t) на входе и выходе стационарной линейной динамической системы (граница с окрестностью). Приняв полученные оценки приближенно равными вероятностным характеристикам, найдем передаточные функции каждой динамической системы

Л->2 ; V /2->3 ; V /3->4 ; V /4->1 .

Система найденных передаточных функций и будет математической моделью исследуемого процесса во всем пространстве рабочей камеры молотковой дробилки.

Моделями процессов в условных зонах будем считать корреляционные функции

kx(r), кх(т) , к*(т), к^(т)

Последовательное соединение стационарных линейных систем дает стационарную линейную систему, передаточная функция которой равна произведению передаточных функций соединяемых систем, причем результат такого соединения не зависит от порядка соединения.
Основной характеристикой линейной динамической системы (граница между условными зонами с окрестностью) и, следовательно, её математической моделью является передаточная функция G(ico) (рис.3).

Передаточная функция динамической системы связана со спектральными плотностями входного и выходного случайных процессов [5]. Выбор аналитической корреляционной функции определил вид соответствующей ей спектральной плотности.

Ошибку функционирования каждой системы определим следующим образом [1,3]:

?х(<У) = 1- G(ico) и используем данные, полученные в ходе основных экспериментальных исследований (таб. 2).

Найденные ошибки функционирования динамических систем не выходят за пределы 5%, что говорит о достаточно хорошей адекватности построенных моделей реальному процессу дробления.

Случайные стационарные процессы в условных зонах имеют постоянную спектральную плотность в определенных диапазонах частот (табл. 1), т.е. близки так называемому «белому шуму». Стационарный «белый шум» - это математическая абстракция, используемая в теории случайных процессов и её инженерных приложениях, в частности, для моделирования [3,5].

Близость спектральных плотностей в зонах к «белому шуму» (абсолютно случайному процессу) открывает широкие перспективы в поисках методов управления ВПС и разработке схем «регуляторов» для совершенствования технологического процесса измельчения кормового сырья.

Литература

1 . Астапов, Ю.М. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. / Ю.М. Астапов, В.С. Медведев.- М.: Наука, 1982.
2. Веденяпин, Г. В. Общая методика экспериментального исследования и обработка опытных данных: изд. 3- е, доп. / Г. В. Веденяпин. - М.: Колос, 1973.
3. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения: учебн. пособие для студ. втузов; изд. 3- е, перераб. и доп. / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - М.: Издат. центр «Академия», 2003. - 432 с.
4. Мельников, С. В. Механизация и автоматизация животноводческих ферм: учебн. пособие для ВУЗов. - Л.: Колос, 1978. - 560 с.
5. Пугачев, В. С. Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления / В. С. Пугачев. - М.: Гостехиздат, 1957. - 659 с.

Источник - ВЕСТНИК МичГАУ, № 1, Печатная версия