В.Б. Федосеев-1, ИЛ. Зацаринная-2
1-Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
2-Азово-Черноморская государственная агроинженерная академия, г. Зерноград, Россия
Из проведенных теоретических и экспериментальных исследований известно, что при истечении сыпучих материалов из выпускных отверстий бункеров наблюдаются явления динамического и статического сводообразования [1,2]. Образующиеся при этом своды имеют различные периоды существования. Каждый из возникающих динамических сводов некоторое время выдерживает давление вышележащих слоев сыпучего материала, а затем разрушается. Следствием этого является нарушение равномерности протекания процесса выгрузки материала из бункера, а также снижение расходных характеристик последнего.
В связи с этим возникает необходимость изучения и математического описания оценочных характеристик стохастических процессов образования и разрушения сводчатых структур при установившемся режиме истечения сыпучих материалов с целью получения их количественных характеристик [2].
Переход системы (в нашем случае - сыпучий материал в бункере в процессе установившегося истечения) в некоторое состояние Si называется событием [2,3]. В процессе работы система неоднократно может возвращаться в состояние Si. Последовательность таких однородных событий образует поток событий S',S^''. Поток событий удобно отображать в виде отметок (рисунок 1) на оси времени, соответствующих моментам наступления событий.
Если интервалы между событиями являются случайными (как в нашем случае), то поток называется случайным и характеризуется совместным законом распределения системы случайных величин (T1,Т2, ...,Т„).
Вероятность попадания того или иного числа m событий на участок оси времени t, t + т зависит только от т и не зависит от t. Интенсивность или плотность потока событий,
то есть среднее число событий в единицу времени, постоянна: LA = const.
Случайный поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки. Условие отсутствия последействия означает, что события наступают в системе независимо друг от друга.
Так как процесс истечения сыпучего материала из бункера мы считаем случайным процессом, то моменты образования динамических сводов в сечении бункера будем рассматривать как поток однородных событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. При этом под ординарностью будем понимать тот факт, что вероятность образования динамических сводов более одного раза за достаточно малый промежуток времени At - величина меньшего порядка малости по сравнению с At.
При таких предположениях закон распределения числа моментов образования динамических сводов в произвольном сечении бункера описывается известным законом Пуассона
Здесь P{k,t) - вероятность образования к - динамических сводов за интервал времени t, X - интенсивность сводообразования - число сводов, образующихся за единицу времени.
Покажем эту экспоненциальную зависимость. Пусть kj - число образовавшихся динамических сводов за промежуток времени (0, t), a к2 - за промежуток (t, t + At). Для того чтобы в промежутке времени (0, t + At) произошло к раз образование динамических сводов, необходимо и достаточно наступление одного из следующих двойных событий:
&1 = к, к2 = 0;
к\ = к -1, к2 = 1;
к\ = 0, к2 = к . Так как эти события несовместны, то согласно формуле полной вероятности запишем
P(kJ + At)=P[kj)-P(p,At) + P[k-lj)-P(l,At)+..P(p,t)-P(k,At) к>1. (2)
Будем считать, что вероятность образования одного динамического свода в бункере за промежуток времени At пропорциональна величине этого промежутка и равна X-At. Таким образом P[l,At) = X-At .
Вероятность того, что за промежуток времени (0, t + At) не образуется ни один динамический свод, равна
P(p,t + At)=P(p,t)-P(p,At) = P(p,t)-(l-X-At), (3)
так как согласно определению
P(0,At) = P(l,A/)=l-P(l,At)=l-X-A/. (4)
Уравнение (3) перепишем в виде
P[0,t + At)-P(p,t)= -X-P(p,t)-At. Отсюда следует
Дальнейшие вычиcтелния лучше смотреть в печатной версии ВЕСТНИК МичГАУ
Рис. 2 - Зависимость вероятности образования 5 - И сводов от интенсивности сводообразования X и времени истечения t.
Из графика на рисунке 2 видно, что вероятность сводообразования практически не зависит от интенсивности сводообразования X. При изменении X меняется лишь время достижения вероятности.
Графики зависимости вероятности образования различного числа сводов от времени при интенсивности сводообразования Х = 1 представлены на рисунке 3.
Рис. 3 - Зависимость вероятности образования к сводов от времени при интенсивности сводообразования X = 1.
Как известно, математическое ожидание распределения, описываемое законом Пуассона, равно
M\x) = X-t. (7)
Отсюда следует, что X - это среднее число моментов образования динамических сводов за единицу времени, то есть интенсивность образования динамических сводов, как мы и определили выше.
Следовательно, средняя длительность промежутка времени между двумя последовательными образованиями динамических сводов равна (формула пропущена)
Выводы.
1. Истечение сыпучего материала из выпускного отверстия бункера в установившимся режиме - случайный, стохастический процесс, определяемый последовательными образованиями и разрушениями динамических сводов.
2. Распределение числа моментов образования динамических сводов в произвольном сечении бункера описывается законом Пуассона.
3. Вероятность сводообразования практически не зависит от интенсивности сводообра-зования. При изменении интенсивности сводообразования меняется лишь время достижения вероятности.
Литература
1. Богомягких, В.А. Статистическая теория сыпучих тел / В.А. Богомягких, А.И. Пахайло, В.С. Кунаков и др. // изд.-полигр. комплекс: Валеология БИОС РГУ, - 1998 - 147 с.
2. Богомягких, В.А., Пепчук А.П. Интенсификация разгрузки бункерных устройств в условиях сводообразования зернистых матриалов / В.А. Богомягких, А.П. Пепчук - Зерноград, 1996. - 164 с.
3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Издательство «Наука», 1978, - 363 с.
Источник - ВЕСТНИК МичГАУ, № 1, Печатная версия